二叉搜索树

基本概念

二叉搜索树(BST,Binary Search Tree)

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

二叉搜索树/二叉查找树也称二叉排序树,因为二叉排序树的中序遍历结果是升序

常用结论

二叉搜索树的左子树一定小于根,右子树一定大于根,结合定义递归子树可以得到

• 左子树的最右节点是左子树的最大节点,右子树的最右节点是右子树的最大节点.

• 左子树的最左节点是左子树的最小节点,右子树的最左节点是右子树的最小节点.

• 二叉搜索树的最小节点是左子树的最左节点,最大节点是右子树的最右节点

用途

实际情况很少直接使用搜索二叉树,多是根据搜索二叉树的高效搜索特性,衍生出更为实用的高阶数据结构,例如平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)等...

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。(在不在的问题)
   比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
   以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
   在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

还有如:门禁系统,车库系统等...

2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方
   式在现实生活中非常常见： (通过一个值查找另一个值)
   比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
   文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
   再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
   现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

还有如:通讯录

二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：$log_2 N$ ($log_2 N$)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$ ($\frac{N}{2}$)

二叉搜索树的操作

查找

1. 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

插入

1. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针(第一个节点就是root)
2. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

特别地

• 同样一组数据,插入顺序不同,得到的二叉树也不同

• 当插入的值已存在时,插入失败(不考虑multi)

删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回.

否则,根据树的结构定义,可以得到3种情况

1. 要删除的结点无孩子结点
2. 要删除的结点只有左孩子或右孩子时
3. 要删除的结点有左、右孩子结点

看起来有待删除节点有4中情况，实际情况:

• 要删除的结点无孩子结点时,直接删除

• 要删除的结点只有左孩子或右孩子时,将左孩子或右孩子给父亲

  1. 要删除的结点可能是父亲的左孩子或者是右孩子,有2*2种情况(要删除的结点是父亲的左孩子或右孩子)

  2. 左右孩子都是空时,也满足情况,因此可以合并无孩子结点情况

  3. 在1的前提下,恰好是根节点,也是一种情况(让另外一个孩子做根即可)

• 要删除的结点有左右孩子(子树)时,需要找一个既要比左子树大也要比右子树小的节点来补上.

  根据递归定义得知,只有左孩子的最右结点和右孩子的最左结点符合条件,二选一即可

  当选择使用右孩子的最左结点时,有以下三种情况(与是不是根无关)

  1. 要删除的结点的右子树的最小结点恰好是要删除结点的右孩子.

  2. 要删除的结点的右子树的最小结点没有右孩子.

  3. 要删除的结点的右子树的最小结点有右孩子

     

     (上图举例分析)

代码实现

BSTree.hpp

template<class K>struct BSTreeNode { BSTreeNode<K>* _left; BSTreeNode<K>* _right; K _key; BSTreeNode(K key) :_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr) {}};template<class K>class BSTree {public: using Node = BSTreeNode<K>; BSTree() = default; BSTree(const BSTree& bst) { _root = Copy(bst._root); } BSTree<K>& operator=(BSTree bst) { //拷贝复用 swap(_root,bst.root); return *this; } ~BSTree() { Destroy(_root); }public: bool Insert(const K& key) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); _root->_key = key; return true; } BSTreeNode<K>* cur = _root; BSTreeNode<K>* parent = _root; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } //走出循环,说明树中不存在该节点, 可以插入 cur = new BSTreeNode<K>(key); if (key < parent->_key) { parent->_left = cur; } else { parent->_right = cur; } return true; } bool Find(const K& key) { if (_root == nullptr) return false; Node* cur = _root; while (cur) { if (key < cur->_key) { cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { cur = cur->_right; } else { return true; } } // 从循环出来,说明没找着 return false; } bool Erase(const K& key) { if (_root == nullptr) return false; Node* cur = _root; Node* parent = _root; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { //没有左孩子 if (cur->_left == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else if (parent->_left == cur) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } delete cur; return true; } //没有右孩子 else if (cur->_right == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_left; } if (parent->_left == cur) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } delete cur; return true; } //有左右孩子 else { //找右孩子(子树)的最小结点/最左结点 Node* rightMin = cur->_right; //明确不为空 Node* rightMinParent = cur; while (rightMin->_left) { rightMinParent = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } // 删除右子树最小结点有3种情况(与是不是根无关) //1. 要删除的结点右子树最小结点恰好是自己的右孩子. //2. 要删除的结点的右孩子的左子树的最左结点没有右孩子. //3. 要删除的结点的右孩子的左子树的最左结点有右孩子. //结论解析: 复用删除单结点代码,进行删除rightMin即可 K tmp = rightMin->_key; Erase(rightMin->_key); //只能从根开始遍历,性能损失,但是二分查找很快,损失不大(理想情况,BST只学习用) cur->_key = tmp; return true; } //有左右孩子的情况 } //找到了_继续处理的过程 }//循环找的过程 //循环结束,说明没找到 return false; }//Erase [end] void InOrder() { _InOrder(_root); std::cout << std::endl; } bool InsertR(const K& key) { _InsertR(_root, key); } bool EraseR(const K& key) { return _EraseR(_root,key); }private: //此处返回值不能使用指针引用,虽然一定情况下可以使用(不推荐),至少目前不能引用空值. Node* Copy(const Node* root) { if (root == nullptr) { return nullptr; } Node* newRoot = new Node(root->_key); newRoot->_left = Copy(root->_left); newRoot->_right = Copy(root->_right); return newRoot; } //用不用引用无所谓,好习惯做到底 //(析构子节点时,父节点两个成员会成为垂悬指针,但是接下来父亲也要析构了,指针变量也随之回收) void Destroy(Node*&root) { if (root == nullptr) { return ; } Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); std::cout<<root->_key<<""; delete root; //释放加自动置空 } //练习递归+引用 -- 代码更加简洁 bool _EraseR(Node*& root, const K&key) { //走到空,说明没找到,返回false if (root == nullptr) { return false; } //大于走右边,小于走左边 if (key > root->_key) { return _EraseR(root->_right,key); } else if(key<root->_key) { return _EraseR(root->_left,key); } //找到了 else { if (root->_left == nullptr) { Node* del = root; root = root->_right; delete del; return true; } else if (root->_right == nullptr) { Node* del = root; root = root->_left; delete del; return true; } //有左右孩子 else { Node* leftMax = root->_left; //找左子树最大结点 while (leftMax->_right) { leftMax = leftMax->_right; } std::swap(root->_key, leftMax->_key); return _EraseR(root->_left, key); //直接从左孩子开始递归删除. } } } //练习递归+引用指针的玩法,仅练习 bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { //引用的妙用,跨栈帧直接访问实参 if (root == nullptr) { root == new Node(key); return true; } if (key == root->_key) return false; return (key > root->_key) ? _InsertR(root->_right, key) : _InsertR(root->_left, key); } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); std::cout << root->_key <<""; _InOrder(root->_right); }private: BSTreeNode<K>* _root = nullptr;};

test.cc

void test() { int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 }; BSTree<int> bst; for (int i : a) { bst.Insert(i); } bst.InOrder(); ////Find //std::cout << std::boolalpha << bst.Find(8) << std::endl; //true //std::cout << std::boolalpha << bst.Find(9) << std::endl; //false BSTree<int> cp(bst); cp.InOrder(); //测试两孩子的三种情况即可 bst.Erase(8); //1. 要删除的结点的右子树的最小结点恰好是要删除结点的右孩子. bst.Erase(10); //2. 要删除的结点的右子树的最小结点没有右孩子 bst.Insert(5); //构造有右孩子的最小结点 bst.Erase(3); //3. 要删除的结点的右子树的最小结点有右孩子 bst.Erase(4); bst.Erase(7); bst.Erase(1); bst.Erase(14); bst.Erase(13); bst.Erase(6); bst.Erase(5); bst.InOrder(); //禁止显式调用析构函数 --> 双重释放 //bst.~BSTree(); //cp.~BSTree(); }int main() { test();}