第一章 微分流形

Note：本文中，欧氏空间中的向量的分量用上标表示。

§1 微分流形的定义

[Def 1.1] \(M\) 是一个第二可数的Hausdorff空间。若对任意 \(x\in M\) ，都存在 \(x\) 的一个邻域 \(U\) 同胚于 \(\R^m\) 的一个开集，则称 \(M\) 是一个 \(m\) 维流形（或拓扑流形）。记同胚映射为 \(\varphi_U:U\to\varphi_U(U)\) ，则 \((U,\varphi_U)\) 称为 \(M\) 的一个坐标卡；对于 \(y\in U\) ，记 \(u=\varphi_U(y)\) ，则 \(u^i\ (1\leqslant i\leqslant m)\) 称为 \(y\) 的局部坐标。

​ 对于函数 \(f:U\to\R\ \ \ (U\in\R^m)\) ，如果 \(f\) 的所有 \(r\) 阶偏导数都存在，则称 \(f\) 是 \(r\) 次可微的或 \(C^r\) 的。如果有任意阶偏导数，则称 \(f\) 是光滑的或者 \(C^\infin\) 的。如果 \(f\) 在 \(U\) 的每一点的附近都可以用收敛的幂级数表示，则称 \(f\) 是解析的或者 \(C^\omega\) 的。

​ 考虑两个坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和 \((V,\varphi_V)\) ，若 \(U\cap V\neq\varnothing\) ，则

是同胚，其逆为\(g=\varphi_U\circ\varphi_V^{-1}\)。如果\(f,g\)的每一个分量函数\(f^i,g^i\)都是\(C^r\)的，则称这两个坐标卡是\(C^r\)相容的。（当然，若\(U\cap V=\varnothing\)，也认为两者相容）

[Def 1.2]在\(m\)维流形\(M\)上给定一族坐标卡\(\mathscr{A}=\{(U,\varphi_U),(V,\varphi_V),\cdots\}\)，若
\((1)\)\(\{U,V,\cdots\}\)是\(M\)的开覆盖\((2)\)\(\mathscr{A}\)中任意两个坐标卡是\(C^r\)相容的
\((3)\)\(\mathscr{A}\)是极大的，即\(M\)的任意一个与\(\mathscr{A}\)中每个坐标卡都相容的坐标卡都在\(\mathscr{A}\)中
则称\(\mathscr{A}\)是\(M\)的一个\(C^r-\)微分结构，给定了此结构的\(M\)称为一个\(C^r-\)微分流形。\(C^\infin-\)微分流形又称光滑流形，\(C^\omega-\)微分流形又称解析流形。必要时默认所谓流形是光滑流形。

[Eg 1.1]\(m\)维射影空间\(P^m\)
在\(\R^{m+1}-\{0\}\)上定义等价关系：对于\(x,y\in\R^{m+1}-\{0\}\)，若\(\exist\ \alpha\in\R\)使得\(x=\alpha y\)，则\(x\sim y\)。商空间\(P^m=(\R^{m+1}-\{0\})/\sim\)称为射影空间，数组\((x^i)_{1\leqslant i\leqslant m+1}\)称为\([x]\in P^m\)的齐次坐标。坐标卡：

其中的\(1\leqslant i\leqslant m+1,\ _i\xi_j={x^j}/{x^i}\)。由于\(\{U_i\}\)构成开覆盖，且有坐标变换\(_j\xi_k=_i\xi_k/_i\xi_j,_j\xi_i=1/_i\xi_j\)，那么给定了\(\{(U_i,\varphi_i)\}\)的\(P^m\)是光滑流形。

[Def 1.3]光滑流形\(M\)上的连续函数\(f:M\to\R\)。若对\(p\in M\)和包含\(p\)的坐标卡\((U,\varphi_U)\)，函数\(f\circ\varphi_U^{-1}\)在点\(\varphi_U(p)\)处是\(C^\infin\)的，则称\(f\)在点\(p\)处是光滑的。处处光滑的函数\(f\)称为\(M\)上的光滑函数。\(M\)上全体光滑函数的集合记作\(C^\infin(M)\)。
光滑流形\(M\)到\(N\)的连续函数\(f:M\to N\)。若对\(p\in M\)，以及包含\(p\)的坐标卡\((U,\varphi_U)\)和包含\(f(p)\)的坐标卡\((V,\psi_V)\)，映射\(\psi_V\circ f\circ\varphi_U^{-1}\)的每一个分量函数在点\(\varphi_U(p)\)处是\(C^\infin\)的，则称\(f\)在点\(p\)处是光滑的。处处光滑的映射\(f\)称为\(M\)到\(N\)的光滑映射。
对于同胚\(f:M\to N\)，若\(f,f^{-1}\)都是光滑映射，则称\(f\)为可微同胚。

Note：光滑性和坐标卡的选取是无关的。具体而言，对于坐标卡\((U,\varphi_U)\)和\((V,\varphi_V)\)，由于坐标变换是光滑的，而且\(f\circ\varphi_V^{-1}=(f\circ\varphi_U^{-1})\circ(\varphi_U\circ\varphi_V^{-1})\)，那么\(f\circ\varphi_V^{-1}\)和\(f\circ\varphi_U^{-1}\)的光滑性等价。

[Def 1.4]光滑流形\(M,N\)。拓扑积空间\(M\times N\)上由坐标卡族\(\{U_\alpha\times V_\beta,\varphi_\alpha\times \psi_\beta\}\)给出的光滑流形结构称为\(M\)和\(N\)的积流形。投射\(\pi_1:M\times N\to M,\pi_2:M\times N\to N\)显然是光滑映射。

§2 切空间

​类比切线、切平面的概念，微分流形可以引进切空间和余切空间的概念，以达到在每一点附近用线性空间近似流形的目的。下面从余切空间入手，再通过对偶构造切空间。

​补充光滑函数的定义。开集\(V\sub M\)和函数\(f:V\to\R\)。若任意与\(V\)相交的坐标卡\((U,\varphi_U)\)，函数\(f\circ\varphi_U^{-1}\)是\(\varphi_U(U\cap V)\)上的光滑函数，则称\(f\)是定义在\(V\)上的光滑函数。

​固定一点\(p\in M\)。定义在\(p\)的邻域上的光滑函数构成集合\(C^\infin_p\)，其上有加法和乘法（例如，对于\(f:U\to\R\)和\(g:V\to\R\)，函数\(f+g:U\cap V\to\R\)满足\(\forall p\in U\cap V,(f+g)(p)=f(p)+g(p)\)）。定义\(C^\infin_p\)上的等价关系：若存在\(p\)的邻域\(H\)使得\(f|_H=g|_H\)，则\(f\sim g\)。令商空间\(\mathscr{F}_p=C^\infin_p/\sim\)，其中的等价类\([f]\)称为\(p\)点处的\(C^\infin-\)函数芽，那么\(\mathscr{F}_p\)是一个无穷维实线性空间。

​光滑函数\(\gamma:(-1,1)\to M\)使得\(\gamma(0)=p\)称作经过点\(p\)的参数曲线，其构成的集合记作\(\varGamma_p\)。对于\(\gamma\in\varGamma_p\)和\([f]\in\mathscr{F}_p\)，定义配合：

对于固定的\(\gamma\)，\(\left<\left<\gamma,\cdot\right>\right>:\mathscr{F}_p\to\R\)是线性函数。定义\(\mathscr{H}_p=\{[f]\in\mathscr{F}_p \big|\left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=0,\forall\gamma\in\varGamma_p\}\)。

[Theo 2.1]\([f]\in\mathscr{F}_p\)，对于包含\(p\)的坐标卡\((U,\varphi_U)\)，令\(F=f\circ\varphi_U^{-1}\)，则\([f]\in\mathscr{H}_p\)当且仅当

Proof：记参数曲线的坐标表示为\(x^i(t)=(\varphi_U\circ\gamma(t))^i,\ 1\leqslant i\leqslant m\)，则

\[\begin{align*}\left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|_{t=0}& =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}((f\circ\varphi_U^{-1})\circ(\varphi_U\circ\gamma(t)))\right|_{t=0} \\& =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F(x^1(t),\cdots,x^m(t))\right|_{t=0} \\& =\sum_{i=1}^{m}{\left.\frac{\part F}{\part x^i}\right|_{\varphi_U(p)}\cdot\left.\frac{\text{d}x^i(t)}{\text{d}t}\right|_{t=0}}\end{align*}\]

由于\(\gamma\)选取的任意性，\(\left.\cfrac{\text{d}x^i(t)}{\text{d}t}\right|_{t=0}\)可取到任何实数值，因而要求所有的\(\left.\cfrac{\part F}{\part x^i}\right|_{\varphi_U(p)}=0\)。

[Def 2.1]商空间\(\mathscr{F}_p/\mathscr{H}_p\)称为流形\(M\)在\(p\)点的余切空间，记作\(T^*_p\)。函数芽\([f]\in\mathscr{F}_p\)的等价类记作\((\text{d}f)_p\)，称为流形\(M\)在\(p\)点的余切矢量。它是一个无穷维实线性空间。
对于在\(p\)的邻域上的光滑函数\(f\)，\((\text{d}f)_p\)也称作\(f\)在\(p\)点的微分。若\((\text{d}f)_p=0\)则称\(p\)是\(f\)的临界点。

[Theo 2.2]\(f^1,\cdots,f^s\in C^\infin_p\)，而\(F(f^1(p),\cdots,f^s(p))\)是点\(x=(f^1(p),\cdots,f^s(p))\)附近的光滑函数，则\(f=F(f^1,\cdots,f^s)\)是定义在\(p\)的邻域上的光滑函数，且

Proof：\(f\)的定义域是\(p\)的有限个邻域的交。由于\(F\)光滑，则\(f\)光滑。记\(a_k=\left.\cfrac{\part F}{\part x^i}\right|_x\)，则对于任意的\(\gamma\in\varGamma_p\)，有：

\[\begin{align*}\left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|_{t=0}& =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F(f^1\circ\gamma(t),\cdots,f^s\circ\gamma(t))\right|_{t=0} \\& =\sum_{k=1}^{s}{a_k\cdot\left.\frac{\text{d}(f^k\circ\gamma(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}} \\& =\sum_{k=1}^{s}{a_k\left<\left<\gamma,[f^k]\right>\right>}=\left<\left< \gamma,\sum_{k=1}^{s}{a_k[f^k]}\right>\right>\end{align*}\]

因此\([f]-\sum{a_k[f^k]}\in\mathscr{H}_p\)，即\((\text{d}f)_p=\sum{a_k(\text{d}f^k)_p}\)。

推论 1：对于\(f,g\in C^\infin_p,\alpha\in\R\)：

\[\begin{align*}& \text{d}(f+g)_p=(\text{d}f)_p+(\text{d}g)_p \\& \text{d}(\alpha f)_p=\alpha\cdot(\text{d}f)_p \\& \text{d}(fg)_p=f(p)\cdot(\text{d}g)_p+g(p)\cdot(\text{d}f)_p\end{align*}\]

推论 2：\(\dim T^*_p=m\)

Proof：取包含\(p\)的坐标卡\((U,\varphi_U)\)，则对于\(q\in U\)，局部坐标\(u^i(q)=(\varphi_U(q))^i\)是光滑函数。下证\(\{(\text{d}u^i)_p\}_{1\leqslant i\leqslant m}\)是\(T^*_p\)的基。由[Theo 2.2]可知\(\{(\text{d}u^i)_p\}\)张成\(T^*_p\)，下证其线性无关。
若一组\(\alpha_i\in\R\)使得\(\sum{\alpha_i(\text{d}u^i)_p}=0\)，即\(\sum{\alpha_i[u^i]}\in\mathscr{H}_p\)，则\(\forall\gamma\in\varGamma_p\)有：

\[\left<\left<\gamma,\sum_{i=1}^{m}{\alpha_i[u^i]}\right>\right>=\sum_{i=1}^{m}{\alpha_i\cdot\left.\frac{\text{d}(u^i\circ\gamma(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}}=0\]

取\(\lambda_k\in\varGamma_p\)使得\(u^i\circ\lambda_k(t)=u^i(p)+\delta_k^i t\)（其中\(\delta_k^i\)是Kronecker记号），则

\[\left.\frac{\text{d}(u^i\circ\lambda_k(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}=\delta_k^i=\left\{\begin{align*}1\ \ \ i=k \\0\ \ \ i\neq k\end{align*}\right.\]

令\(\gamma=\lambda_k\)带入可得\(\alpha_k=0\)，因此\(\{(\text{d}u^i)_p\}\)线性无关。

​反过来考虑\(\varGamma_p\)，定义其上的等价关系：对于\(\gamma,\gamma'\in\varGamma_p\)，若\(\forall f\in C^\infin_p\)都有\(\left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=\left<\left<\gamma',[f]\right>\right>\)，则\(\gamma\sim\gamma'\)。对于等价类\([\gamma]\)和\((\text{d}f)_p\)，定义

可见配合\(<[\gamma],(\text{d}f)_p>\)是双线性的。用局部坐标表示\(\gamma\)使\(\varphi_U\circ\gamma(t)=(u^1(t),\cdots,u^m(t))\)，可得

这个值由\(\xi^i\)完全决定。取\(\gamma\)使\(u^i(t)=(\varphi_U(p))^i+\xi^i t\)，可见\(\xi^i\)可取到任意数值，那么全体\(\left<[\gamma],\cdot\right>\)就表示了全体\(T^*_p\)上的线性函数，继而构成\(T^*_p\)的对偶空间，\(\{[\lambda_k]\}_{1\leqslant k \leqslant m}\)是\(\{(\text{d}u^i)_p\}_{1\leqslant i \leqslant m}\)的对偶基。

[Def 2.2]商空间\(\varGamma_p/\sim\)称为流形\(M\)在\(p\)点的切空间，记作\(T_p\)。其元素称为点\(p\)处的切矢量。

​从局部坐标的角度看，切向量有更简单的几何意义描述。对于分别由\(u^i,u'^i\)给出的曲线\(\gamma,\gamma'\)，\(\gamma\sim\gamma'\)的充要条件是相应的\(\xi^i=\xi'^i\)，即在点\(p\)处有相同的“切线”。

​切矢量\([\lambda_k]\)还有另一重含义。注意到

那么\([\lambda_k]\)之于\((\text{d}f)_p\)就相当于偏微分算子\(\left.\cfrac{\part}{\part u^k}\right|_p\)，因此\([\gamma]\)可以表示为

[Def 2.3]对于\(X\in T_p,f\in C^\infin_p\)，记\(Xf=<X,(\text{d}f)_p>\)，称作函数\(f\)沿切矢量\(X\)的方向导数。

​以下定理说明了方向导数是\(C^\infin_p\)上的线性算子。

[Theo 2.3]方向导数的性质。对于\(X\in T_p,f,g\in C^\infin_p,\alpha,\beta\in\R\)：
\((1)\)\(X(\alpha f+\beta g)=\alpha\cdot Xf+\beta\cdot Xg\)\((2)\)\(X(fg)=f(p)\cdot Xg+g(p)\cdot Xf\)

​考虑坐标变换对这两组基的影响。对于两组局部坐标\(u^i,{u^*}^i\)，相应的\(\xi,\alpha\)满足关系

其中\(\cfrac{\part {u^*}^i}{\part u^i}=\cfrac{\part (\varphi_{U^*}\circ\varphi_U^{-1})}{\part u^i}\)是坐标变换的Jacobi矩阵。满足前者变换规律的矢量称作反变矢量，满足后者变换规律的矢量称作协变矢量。

​光滑流形之间的映射诱导出切空间和余切空间上的光滑映射。对于光滑映射\(F:M\to N\)，记点\(p\in M\)的像是点\(q=F(p)\)。余切空间上的映射\(F^*:T^*_q\to T^*_p\)定义作

这显然是线性映射。其共轭映射\(F_*:T_p\to T_q\)使得

[Def 2.4]映射\(F^*\)称为映射\(F\)的微分，映射\(F_*\)称为由\(F\)诱导的切映射。

​这两个映射在局部坐标表示下有共性。对于点\(p\)附近的局部坐标\(u^i\)和点\(q\)附近的局部坐标\(v^\alpha\)，函数\(F\)可以“按分量地”表示为\(v^\alpha=F^\alpha(u^1,\cdots,u^m)\)，也就是\(F^\alpha=v^\alpha\circ F\)。此时\(F^*,F_*\)作用在相应的基上，可以得到

因此\(F^*,F_*\)在相应的基下的矩阵就是Jacobi矩阵\(\left.\cfrac{\part F^\alpha}{\part u^i}\right|_p\)。

§3 子流形

​首先研究光滑流形诱导的切映射的一些性质。光滑映射\(F:M\to N\)，在点\(p\)处诱导了切映射\(F_*:T_p\to T_q\)，这里\(q=F(p)\)。重要的是，切映射\(F_*\)在\(p\)点的性质决定了\(F\)在\(p\)点的邻域上的性质。在微积分学中，这就是反函数定理：

[Theo 3.1]（反函数定理）\(\R^n\)的开子集\(W\)上定义光滑映射\(f:W\to \R^n\)。如果在一点\(x_0\in W\)处，\(f\)的Jacobi行列式\(\det\left.\cfrac{\part f^i}{\part x^j}\right|_{x_0}\neq 0\)，则存在\(x_0\)的邻域\(U\sub W\)，使得\(V=f(U)\)是开集，且\(f\)在\(V\)上有光滑的反函数\(g=f^{-1}:V\to U\)。

​根据之前的讨论，Jacobi矩阵就是切映射\(f_*\)，其行列式非零意味着\(f_*\)是切空间的同构。由于反函数的存在，这里的\(f\)限制在\(U\)上就是\(U\)到\(V\)的可微同胚。因此借助局部坐标，此定理可以推广到光滑流形上（此推广的证明是对光滑映射\(F=\psi_V\circ f \circ \varphi_U^{-1}\)使用[Theo 3.1]）：

[Theo 3.2]两个\(n\)维流形\(M,N\)以及光滑映射\(f:M\to N\)。若点\(p\in M\)处切映射\(f_*:T_p\to T_{f(p)}\)是同构，则存在\(p\)的邻域\(U\)，使得\(V=f(U)\)是开集，且\(f|_U:U\to V\)是可微同胚。

​这里的流形\(M,N\)有相同的维数，故“\(f_*\)在该点是同构”等价于“\(f_*\)在该点是单射”。推广到不同维数的流形上，对于流形\(M,N\)，其维数\(m=\dim M\leqslant n=\dim N\)，当\(f_*\)在点\(p\in M\)处是单射时（这意味着该点处的局部坐标下\(f\)的Jacobi矩阵的秩等于\(m\)，称矩阵在该点是非退化的），定理推广为：

[Theo 3.3]\(m\)维流形\(M\)和\(n\)维流形\(N\)，\(m<n\)，以及光滑映射\(f:M\to N\)。若点\(p\in M\)处切映射\(f_*\)是单射，则存在\(p\)处的局部坐标系\((U;u^i)\)和\(q=f(p)\)处的局部坐标系\((V;v^\alpha)\)，使得\(V=f(U)\)，且

Proof：设\(f\)在局部坐标下表示为\(v^\alpha=f^\alpha(u^1,\cdots,u^m)\)。不妨\(u^i(p)=0,v^\alpha(q)=0\)。令

\[I_{n-m}=\{(w^{m+1},\cdots,w^n)\in\R^{n-m} \big|\forall m+1\leqslant\gamma\leqslant n, |w^\gamma|<\delta \}\ , \ \ \ \delta\in\R^+\]

选取适当小的\(U\)和\(\delta\)，可以定义光滑映射\(\widetilde{f}:U\times I_{n-m}\to V\)使得

\[\left\{\begin{align*}& \widetilde{f}^i(u^1,\cdots,u^m,w^{m+1},\cdots,w^n)=f^i(u^1,\cdots,u^m) \\& \widetilde{f}^\gamma(u^1,\cdots,u^m,w^{m+1},\cdots,w^n) =w^\gamma+f^\gamma(u^1,\cdots,u^m)\end{align*}\right. \\1\leqslant i\leqslant m\ ,\ m+1\leqslant \gamma\leqslant n\]

显然\(\widetilde{f}\)的Jacobi矩阵在原点处是非退化的，由[Theo 3.2]不妨（即忽略定义域的问题）假设\(\widetilde{f}\)是可微同胚，则可以将\(\{u^i,w^\gamma\}\)与\(\{v^\alpha\}\)视作等同，那么在此局部坐标系下\(\widetilde{f}\)是恒同映射，则\(f|_U=\widetilde{f}|_{U\times\{0\}}\)满足题设。

[Def 3.1]光滑流形\(M,N\)。若有光滑流形\(\varphi:M\to N\)满足
\((1)\)\(\varphi\)是单射\((2)\)任意点\(p\in M\)，该点的切映射\(\varphi_*:T_p\to T_{\varphi(p)}\)是单射
则称\((\varphi,M)\)是\(N\)的嵌入子流形（或简单地称作光滑子流形）；若只满足\((2)\)，则称\(\varphi\)是浸入，\((\varphi,M)\)是\(N\)的浸入子流形。

​浸入在局部上是单的，而大范围上不尽然；两种子流形的区别具体而言，在于像\(\varphi(M)\)是否有自交点。

[Eg 3.1]开子流形
\(U\)是\(N\)的开子集，将\(N\)的光滑结构限制在\(U\)上，就得到\(U\)的光滑结构（其维数与\(N\)相同）。则\((\text{id}_U,U)\)是\(N\)的嵌入子流形，称为\(N\)的开子流形。

[Eg 3.2]闭子流形
\(N\)的光滑子流形\((\varphi,M)\)若满足：\((1)\)像\(\varphi(M)\)是\(N\)的闭子集；\((2)\)对每一点\(q\in\varphi(M)\)，存在一个局部坐标系\((V;v^\alpha)\)，使得\(\varphi(M)\cap V\)是由\(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\)（其中\(m=\dim M,n=\dim N\)）定义的；则称\((\varphi,M)\)是\(N\)的闭子流形。
例如，单位球面\(S^{n}\sub\R^{n+1}\)和恒同映射\(\text{id}:S^n\to\R^{n+1}\)给出\(\R^{n+1}\)的闭子流形。

[Eg 3.3]对比如下两个\(\R^2\)的子流形\((F,\R)\)和\((G,\R)\)：

前者是浸入子流形（因为其在原点自交无限次），而后者是嵌入子流形（曲线的两端无限接近原点）。

[Eg 3.4]环面\(T^2\)可以视作单位矩形\(I^2\)将两组对边粘合得到的商空间。取实数\(a,b\)，考虑映射\(\varphi:\R\to T^2\)使得\(\varphi(t)=(\lfloor at\rfloor,\lfloor bt \rfloor)\)，若\(a:b\)是无理数，则\(\varphi(\R)\)是稠密的嵌入子流形；若是有理数，则是浸入子流形。

​嵌入子流形\((\varphi,M)\)，在像\(\varphi(M)\)上可以给出一个微分结构使\(\varphi:M\to\varphi(M)\)是可微同胚，这给出\(\varphi(M)\)的一个拓扑；另一方面\(\varphi(M)\)作为\(N\)的子集，从\(N\)继承了拓扑。两者通常来说不一致，且前者细于后者。两者相同的情况引出以下定义：

[Def 3.2]\(N\)的光滑子流形\((\varphi,M)\)。若\(\varphi:M\to\varphi(M)\)是\(M\)和作为\(N\)的子空间的\(\varphi(M)\)之间的同胚，则称\((\varphi,M)\)是\(N\)的正则子流形，且称\(\varphi\)是\(M\)在\(N\)中的正则嵌入。

[Theo 3.4]\(n\)维光滑流形\(N\)的\(m\)维光滑子流形\((\varphi,M)\)，其是正则子流形的充要条件是：其是\(N\)的开子流形的闭子流形。

Proof：\(\Leftarrow\)：由于不需要闭集的条件，不妨假设那个“开子流形”就是\(N\)，即只考虑\(N\)的闭子流形。任意一点\(p\in M\)，根据闭子流形的定义，在\(N\)中\(q=\varphi(p)\)有一个局部坐标系\((V;v^\alpha)\)，使得\(\varphi(M)\cap V\)是由\(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\)定义的。由\(\varphi\)的连续性，存在\(p\)的局部坐标系\((U;u^i)\)使得\(\varphi(U)\sub V\)。不妨假设\(p,q\)是局部坐标系下的原点，并假设\(V=\{(v^1,\cdots,v^n)\big|\ |v^\alpha|<\delta\}\)，那么\(\varphi(U)\sub\varphi(M)\cap V\)，\(\varphi\)在\(U\)上局部地表示为

\[\left\{\begin{align*}& v^i=\varphi^i(u^1,\cdots,u^m)\ , && 1\leqslant i\leqslant m \\& v^\gamma=0\ , && m+1\leqslant \gamma\leqslant n\end{align*}\right.\]

那么Jacobi行列式\(\det\left.\cfrac{\part(\varphi^1,\cdots,\varphi^m)}{\part(u^1,\cdots,u^m)}\right|_{u^i=0}\neq 0\)，根据[Theo 3.1]存在\(0<\delta'<\delta\)，函数\((\varphi^i)\)（视作\(m\)维向量场）有反函数\((\psi^i)\)使得\(|v^i|<\delta'\)时\(u^i=\psi^i(v^1,\cdots,v^m)\)。因此在\(V'=\{(v^1,\cdots,v^n)\big|\ |v^\alpha|<\delta'\}\)满足\(\varphi^{-1}(\varphi(M)\cap V')\sub U\)。由于\(U\)可以取得任意小，因此在\(q\)点\(\varphi^{-1}:\varphi(M)\to M\)是连续的。由于\(q\) 的任意性， 整个 \(\varphi^{-1}:\varphi(M)\to M\)是连续的，因此\(\varphi\)是同胚。

\(\Rightarrow\)：由于\(\varphi\)是同胚，任意一点\(p\in M\)的任意邻域\(U\)，存在\(q=\varphi(p)\)的邻域\(V\)使\(\varphi(U)=\varphi(M)\cap V\)。根据[Theo 3.3]，存在\(p,q\)的局部坐标系\((U',u^i),(V',v^\alpha)\)使得\(\varphi(U')\sub V'\)，且\(\varphi\)在\(U\)上局部地表示为\(\varphi(u^1,\cdots,u^m)=(u^1,\cdots,u^m,0,\cdots,0)\)。不妨\(U'\sub U\)，并取\(V'\sub V\)使得\(\varphi(U')=\varphi(M)\cap V'\)，那么\(\varphi(M)\cap V'\)是由\(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\)定义的，正则子流形的条件\((2)\)已然满足。
对于每一个\(q\)记这个\(V'\)为\(V_q\)，令\(W=\bigcup{V_p}\)，则\(W\)是\(N\)的开子流形，只需说明\(\varphi(M)\)是\(W\)的闭集，这只需证\(\overline{\varphi(M)}\cap W\sub\varphi(M)\)。任意\(s\in \overline{\varphi(M)}\cap W\)，存在一个\(V_q\ni s\)。在局部坐标下\(\varphi(M)\cap V_q\)之于\(V_q\)相当于\(m\)维子平面\(\R^m\times\{0\}^{n-m}\)之于\(\R^n\)，则\(\varphi(M)\cap V_q\)是\(V_q\)的闭集，那么\(s\in \varphi(M)\cap V_q\)。因此\(\overline{\varphi(M)}\cap W\sub\varphi(M)\)。这就证明了\((\varphi,M)\)是开子流形\(W\)的闭子流形。

推论：\(N\)的光滑子流形\((\varphi,M)\) 是正则子流形的充要条件是： 对每一点 \(q\in\varphi(M)\)，存在一个局部坐标系\((V;v^\alpha)\)，使得\(q\)是原点，且\(\varphi(M)\cap V\)是由\(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\)定义的。

[Theo 3.5]\(N\)的光滑子流形\((\varphi,M)\)，若\(M\)是紧致的，则其是正则子流形。

Proof：紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚^[1]，因此其是正则子流形。

​由于欧式空间有良好的性质，希望将流形嵌入到欧式空间中进行研究。这需要使用以下的一系列重要引理，它们可以看做Urysohn引理在流形上的推广：

[Lem 3.1]\(D_1,D_2\)是\(\R^m\)的同心开球，且\(\overline{D_1}\sub D_2\)，则存在光滑函数\(f:\R^m\to[0,1]\)，使得\(f(D_1)=\{1\},\)\(f(\R^m - D_2)=\{0\}\)。

Proof：不妨设\(D_1,D_2\)的球心为原点，半径为\(r_1,r_2\)，令

\[g(t)=\left\{\begin{align*}& \exp{\frac{1}{(t-a^2)(t-b^2)}} \ , && t\in(a^2,b^2) \\& 0 \ , && t\notin(a^2,b^2)\end{align*}\right. \\F(t)=\int_{t}^{+\infin}{g(s)\text{d}s}\Big/\int_{-\infin}^{+\infin}{g(s)\text{d}s}\]

则\(0\leqslant F(t)\leqslant 1\) ， 当 \(t\leqslant a^2\)时\(F(t)=1\)，当\(t\geqslant b^2\)时\(F(t)=0\)（如此构造\(F\)主要是为了光滑性）。令\(f:\R^m\to[0,1]\)为\(f(x^1,\cdots,x^m)=F((x^1)^2+\cdots+(x^m)^2)\)，则它满足要求。

[Lem 3.2]\(U,V\)是\(\R^m\)的非空开集，使得\(\overline V\)是紧致的，而且\(\overline V\sub U\)，则存在光滑函数\(f:\R^m\to[0,1]\)，使得\(f(V)=\{1\},f(\R^m - U)=\{0\}\)。

Proof：存在有限多组开球\(\{D^{(1)}_i,D^{(2)}_i\}\)使得\(\overline{D^{(1)}_i}\sub D^{(2)}_i\sub U\)且\(\{D^{(1)}_i\}\)覆盖\(\overline{V}\)，对每一对\(D^{(1)}_i,D^{(2)}_i\) 利用 [Lem 3.1] 给出光滑函数 \(f_i\)，那么\(f=1-\prod{(1-f_i)}\)满足要求。

[Lem 3.3]\((U,\varphi_U)\)是光滑流形\(M\)的坐标卡，\(V\)是\(M\)的非空开集，使得\(\overline V\)是紧致的，而且\(\overline V\sub U\)，则存在光滑函数\(f:M\to[0,1]\)，使得\(f(V)=\{1\},f(M - U)=\{0\}\)。

Proof：流形\(M\)是局部紧致的^[2]，则存在开集\(U_1\)使得\(\overline{V}\sub U_1\sub\overline{U_1}\sub U\)。对一对开集\(\varphi_U{V},\varphi_U{U_1}\) 使用 [Lem 3.2] 给出光滑函数 \(h\)，那么以下函数\(f\)满足要求：

\[f(p)=\left\{\begin{align*}& h\circ\varphi_U(p) \ , && p\in U \\& 0 \ , && p\notin U\end{align*}\right. \\\]

​由此，可以将紧致流形嵌入欧式空间^[3]：

[Theo 3.6]\(M\)是\(m\)维紧致的光滑流形，则存在一个正整数\(n\)和光滑映射\(\varphi:M\to\R^n\)，使得\((\varphi,M)\)是\(\R^n\)的正则子流形。

Proof：存在\(M\)的有限开覆盖\(\{V_j\}_{1\leqslant j\leqslant r}\)，使得每一个\(\overline{V_j}\)是紧致的，且被包含在一个局部坐标系\((U_j;u_j^i)\)中。对于每一个\(\overline{V_j}\)存在开集\(W_j\)使得\(\overline{V_j}\sub W_j\sub\overline{W_j}\sub U_j\)。对每一对\(V_j,W_j\) 使用 [Lem 3.3] 给出光滑函数 \(f_i\)，然后在\(M\)上定义\(n=r(m+1)\)个光滑函数：

\[\left\{\begin{align*}& x^0_j=f_j \\& x^i_j(p)=\left\{\begin{aligned}& u^i_j(p)\cdot f_i(p)\ , && p\in U_i \\& 0\ , && p\notin U_i\end{aligned}\right.\end{align*}\right. \\\]

将\((x^i_j)_{0\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant r}\)视作\(\R^n\)中的一个点，那么上式给出了映射\(\varphi:M\to\R^n\)。
下证\(\varphi\)是正则嵌入，根据[Theo 3.5]只需证明\(\varphi\)是单射且是浸入。单射：若\(p,q\in M\)使\(\varphi(p)=\varphi(q)\)，则\(x^i_j(p)=x^i_j(q)\)；由于\(\{V_i\}\)是覆盖，存在一个\(V_k\ni p\)，由于\(f_k(q)=x^0_k(q)=x^0_k(p)=f_k(p)=1\)，且每一个\(i\)都有\(u^i_k(q)=u^i_k(p)\)，则\(q\in U_k\)，且在局部坐标系\((U_k;u_k^i)\)中\(p,q\)有相同的坐标，则\(p=q\)。浸入：\(\forall p\in M\)，存在一个\(V_k\ni p\)，在其中\(f_k(p)=1\)，则\(x^i_k\big|_{V_k}=u^i_k\)，因此\(\left.\cfrac{\part(x^1_k,\cdots,x^m_k)}{\part(u^1_k,\cdots,u^m_k)}\right|_p=1\)，因此切映射\(\varphi_*\)是单射，\(\varphi\)是嵌入。

§4 Frobenius定理

[Def 4.1]映射\(X\)将光滑流形\(M\)的一点\(p\)映为切矢量\(X_p\in T_p\)，则称\(X\)是光滑流形\(M\)上的切矢量场。每一个切矢量\(X_p\)可视作函数\(X_p:C^{\infin}\to\R\)；对于\(f\in C^{\infin}\)，令\((Xf)(p)=X_pf\)，则\(Xf\)是\(M\)上的函数。若任意\(f\in C^{\infin}\)，\(Xf\)都是光滑函数，则称\(X\)是\(M\)上的光滑切矢量场。

​由此可见，光滑切矢量场可以视作算子\(X:C^{\infin}\to C^{\infin}\)。[Theo 2.3]可以照搬过来，得到算子\(X\)的性质：\((1)\)\(X(\alpha f+\beta g)=\alpha\cdot Xf+\beta\cdot Xg\)\((2)\)\(X(fg)=f\cdot Xg+g\cdot Xf\)

​下面研究光滑切矢量场\(X\)的局部性质。首先对于\(M\)的非空开集\(U\)，限制\(X|_U\)仍是光滑切矢量场。把\(U\)取成局部坐标系\((U;u^i)\)，就得到光滑切矢量场的局部表示：

[Theo 4.1]\(X\)是光滑流形\(M\)上的切矢量场，则\(X\)是光滑切矢量场\(\Leftrightarrow\)对于任意点\(p\in M\)，存在\(p\)处的局部坐标系\((U;u^i)\)，使得\(X\)限制在\(U\)上可以表示为

其中\(\xi^i\)是定义在\(U\)上的光滑函数。（这是比较显然的，需要注意到\(\xi^i=X|_U u^i\)）

Note：可以看出光滑切矢量场局部地表示为切矢量的“光滑”组合。

[Def 4.2]对于\(M\)上的光滑切矢量场\(X,Y\)，其Poisson括号积定义为\([X,Y]=XY-YX\)。

\([X,Y]\)也是光滑切矢量场，即\([X,Y](f+g)=[X,Y]f+[X,Y]g\)，\([X,Y](fg)=f[X,Y]g+g[X,Y]f\)。

[Theo 4.2]对于\(M\)上的光滑切矢量场\(X,Y,Z\)和\(f,g\in C^\infin(M)\)，以下成立（根据定义验证即可）

​现在可以用局部坐标表示\([X,Y]\)。对于局部坐标系\((U;u^i)\)，\(X,Y\)可以表示成

注意到\(\left[\cfrac{\part}{\part u^i},\cfrac{\part}{\part u^j}\right]=0\)，那么

[Def 4.3]\(X\)是光滑流形\(M\)上的光滑切矢量场，若\(p\in M\)使得\(X_p=0\)，则称\(p\)是\(X\)的一个奇点。

​矢量场在奇点附近的性质是极其复杂的，与流形的拓扑性质密切相关。然而在非奇点处，光滑切矢量场的性质是十分简单的，描述如下：

[Theo 4.3]\(X\)是\(M\)上的光滑切矢量场，若点\(p\in M\)使得\(X_p\neq0\)，则存在\(p\)处的局部坐标系\((W;w^i)\)，使得

Proof：根据[Theo 4.1]存在\(p\)处的局部坐标系\((U;u^i)\)使得

\[X|_U=\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part u^i}}\]

由于\(X_p\neq0\)，不妨\(\xi^1(p)\neq0\)，且根据连续性可以假设其在\(p\)的充分小的邻域上非零。根据常微分方程的理论，在\(p\)的充分小的邻域\(W\)上以下常微分方程组有解（将\(u^1\)视作自变量，其余\(u^i\)视作未知函数）

\[\frac{\text{d}u^i}{\text{d}u^1}=\frac{\xi^i(u^1,\cdots,u^m)}{\xi^1(u^1,\cdots,u^m)}\]

假设解为\(u^i=\varphi^i(u^1)\)，这个解是光滑的，并且初值\(v^i=\varphi^i(0)\)可以在\(W\)上任取，且每一个解对初值组的依赖是光滑的。记\(v^1=u^1\)，那么局部坐标系\((W;v^i)\)和\((U;u^i)\)限制在\(W\)上的部分之间存在光滑的坐标变换（变换是由\(\varphi^i\)表述的）。在局部坐标系\((W;v^i)\)下

\[X|_U=\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part u^i}}=\xi^1\sum_{i=1}^{m}{\frac{\part u^i}{\part v^1}\frac{\part}{\part u^i}}=\xi^1\frac{\part}{\part v^1}\]

第二个等号利用了\(u^1=v^1\)和\(\xi^i=\xi^1\cfrac{\part u^i}{\part u^1}\)，第三个等号是坐标变换。于是只需再令

\[w^1=\int_{0}^{1}{\frac{\text{d}v^1}{\xi^1}}\ ,\ \ \ \ w^i=v^i\]

就得到满足题意的局部坐标系。

​以上定理说明光滑切矢量场在非奇点处“局部地”表现为切空间的一个自然基矢量。那么能否用多个光滑切矢量场组成一个局部坐标系的切空间的基呢？具体来说，如果\(M\)上有\(h\)个光滑切矢量场\(X_1,\cdots,X_h\)，它们在点\(p\)的一个邻域\(U\)上处处线性无关（即每一点\(q\in U\)都有\(X_1(q),\cdots,X_h(q)\)线性无关），那么是否存在\(p\)的一个局部坐标系\((W;w^i)\)使得\(X_i|_W=\cfrac{\part}{\part w^i}\)呢？由于\(\left[\cfrac{\part}{\part w^i},\cfrac{\part}{\part w^j}\right]=0\)，这要求\([X_i,X_j]=0\)。事实上，这是充要条件（证明过程类比下面的[Theo 4.4]）。

​以上的要求比较强，通常考虑下面的类似的问题。

[Def 4.4]映射\(L^h\)将光滑流形\(M\)的一点\(p\)映为切空间\(T_p\)的\(h\)维子空间\(L^h(p)\)。如果对于每一点\(p\)，在\(p\)的某个邻域\(U\)上存在\(h\)个处处线性无关的光滑切矢量场\(X_1,\cdots,X_h\)，使得任意\(q\in U\)，切子空间\(L^h(q)\)都是由矢量\(X_1(q),\cdots,X_h(q)\)张成的，则称\(L^h\)是\(M\)上的\(h\)维光滑分布，记作\(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\)。

​两组张成\(L^h\)的光滑切矢量场之间存在着以光滑函数为系数的非退化线性变换。具体而言，对于另一组光滑切矢量场\(L^h|_U=\{Y_1,\cdots,Y_h\}\)，存在由光滑函数构成的\(h\)阶方阵\(a=(a^\beta_\alpha)\)，使得每一点处\(\det a\neq0\)，且

问题是，是否存在局部坐标系\((W;w^i)\)使得

当这一条件成立时，对于\(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\)，存在变换

在此情况下，有

这里利用了Poisson括号积的表示和上述变换，其中的参数（\(a^{-1}\)表示\(a\)的逆矩阵）

这就是说\([X_\alpha,X_\beta]\)可以表示为\(X_1,\cdots,X_h\)的线性组合。

[Def 4.5]\(L^h\)是\(M\)上的\(h\)维光滑分布。若任意使\(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\)的一组光滑切矢量场\(X_1,\cdots,X_h\)，其中的每一对\([X_\alpha,X_\beta]\)都可以表示为\(X_1,\cdots,X_h\)的线性组合，则称\(L^h\)满足Frobenius条件。

[Theo 4.4]（Frobenius定理）\(L^h\)是\(M\)上的\(h\)维光滑分布。\(L^h\)在\(U\)上满足Frobenius条件\(\Leftrightarrow\)对于任意\(p\in U\)，存在\(p\)的局部坐标系\((W;w^i)\)，\(W\sub U\)，使得

Proof：\(\Leftarrow\)已经说明。\(\Rightarrow\)：对维数\(h\)归纳。\(h=1\)时即是[Theo 4.3]。若\(h-1\)维成立，\(h\)维时，对于满足Frobenius条件的\(L^h=\{X_1,\cdots,X_h\}\)，这个条件意味着^[4]

\[[X_\alpha,X_\beta]\equiv 0\ (\text{mod}\ X_\gamma)\ \ \ \ 1\leqslant \alpha,\beta\leqslant h\]

由[Theo 4.3]存在\(p\)处的局部坐标系\((y^1,\cdots,y^m)\)使得\(X_h=\cfrac{\part}{\part y^h}\)。
以下设\(1\leqslant \lambda,\mu,\nu\leqslant h-1\)，并定义

\[X'_\lambda=X_\lambda-(X_\lambda y^h)X_h\]

显然有\(X'_\lambda y^h=0,X_h y^h=1\)。处处线性无关的组\(X'_1,\cdots,X'_{h-1},X_h\)仍然张成\(L^h\)，则由Frobenius条件

\[[X'_\lambda,X'_\mu]\equiv a_{\lambda\mu}X_h \ (\text{mod}\ X'_\nu)\]

将上式两边同时作用于\(y^h\)，得\(a_{\lambda\mu}=0\)，于是\(L'^{h-1}=\{X'_1,\cdots,X'_{h-1}\}\)满足Frobenius条件。因此由归纳假设存在\(p\)的局部坐标系\((z^1,\cdots,z^m)\)使得

\[L'^{h-1}=\left\{\frac{\part}{\part z^1},\cdots,\frac{\part}{\part z^{h-1}}\right\}\]

两个组之间存在光滑的非退化线性变换，则\(\cfrac{\part}{\part z^\lambda}y^h=0\)，因此\(X_h\)与它们线性无关。故

\[L^h=\left\{\frac{\part}{\part z^1},\cdots,\frac{\part}{\part z^{h-1}},X_h\right\}\]

根据Frobenius条件，可设

\[\left[\frac{\part}{\part z^\lambda},X_h\right]\equiv b_\lambda X_h\ \left(\text{mod}\ \frac{\part}{\part z^\mu}\right)\]

将上式两边同时作用于\(y^h\)，得\(b_{\lambda}=0\)，所以

\[\left[\frac{\part}{\part z^\lambda},X_h\right]=\sum_{\mu=1}^{h-1}{C_{\lambda\mu}\frac{\part}{\part z^\mu}}\]

在\((z^1,\cdots,z^m)\)下\(X_h\)可表示为\(X_h=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part z^i}}\)，则

\[\left[\frac{\part}{\part z^\lambda},X_h\right]=\sum_{i=1}^{m}{\frac{\part \xi^i}{\part z^\lambda}\frac{\part}{\part z^i}}\]

两相对比，得到\(1\leqslant \lambda\leqslant h-1,h\leqslant i\leqslant m\)时\(\cfrac{\part \xi^i}{\part z^\lambda}=0\)，因此\(\xi^i\)是只与\(z^h,\cdots,z^m\)有关的函数。于是可以令\(X'_h=\displaystyle\sum_{i=h}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part z^i}}\)，仍然有\(L^h=\left\{\cfrac{\part}{\part z^1},\cdots,\cfrac{\part}{\part z^{h-1}},X'_h\right\}\)。由[Theo 4.3]存在从\((z^h,\cdots,z^m)\)到\((w^h,\cdots,w^m)\)的坐标变换使得\(X'_h=\cfrac{\part}{\part w^h}\)，再令\(w^\lambda=v^\lambda\ \ (1\leqslant \lambda\leqslant h-1)\)，则

\[L^h=\left\{\frac{\part}{\part w^1},\cdots,\frac{\part}{\part w^h}\right\}\]

Note：此定理还有一个基于外微分叙述的对偶形式，见第三章[Theo 2.4]。