阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.8 Affine Subspaces
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- 首次发表日期：2024-07-24
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2.8 仿射空间
接下来，我们将更详细地考察从原点偏移的空间，即不再是向量子空间的空间。此外，我们还将简要讨论这些仿射空间之间映射的性质，这些映射类似于线性映射。
备注。在机器学习文献中，线性和仿射之间的区别有时并不明确，以至于我们可以发现将仿射空间/映射称为线性空间/映射的参考文献。
2.8.1 仿射空间
定义 2.25（仿射子空间）。设 \(V\) 为一个向量空间，\(\boldsymbol{x}_0 \in V\)，\(U \subseteq V\) 为一个子空间。那么子集
称为\(V\)的仿射子空间或线性流形（linear manifold）。\(U\)称为方向或方向空间（direction space），\(\boldsymbol{x}_0\)称为支点（support point）。在第12章中，我们将这种子空间称为超平面。
注意，如果\(\boldsymbol{x}_0 \notin U\)，则仿射子空间的定义排除了\(\mathbf{0}\)。因此，对于\(\boldsymbol{x}_0 \notin U\)，仿射子空间不是\(V\)的（线性）子空间（向量子空间）。
仿射子空间的例子有\(\mathbb{R}^3\)中的点、线和平面，这些点、线和平面不（一定）通过原点。
备注。考虑向量空间\(V\)的两个仿射子空间\(L = \boldsymbol{x}_0 + U\)和\(\tilde{L} = \tilde{\boldsymbol{x}}_0 + \tilde{U}\)。当且仅当\(U \subseteq \tilde{U}\)且\(x_0 - \tilde{x}_0 \in \tilde{U}\)时，\(L \subseteq \tilde{L}\)。
仿射子空间通常由参数描述：考虑一个\(V\)的\(k\)维仿射空间\(L = \boldsymbol{x}_0 + U\)。如果\(\left(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\right)\)是\(U\)的一个有序基，那么每个元素\(\boldsymbol{x} \in L\)都可以唯一地描述为
其中\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}\)。这种表示称为具有方向向量\(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\)和参数\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\)的\(L\)的参数方程。
**例 2.26（仿射子空间）**
- 一维仿射子空间称为直线，可以写作\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda \boldsymbol{b}_1\)，其中\(\lambda \in \mathbb{R}\)，\(U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1\right] \subseteq \mathbb{R}^n\)是\(\mathbb{R}^n\)的一维子空间。这意味着直线由一个支点\(\boldsymbol{x}_0\)和一个定义方向的向量\(\boldsymbol{b}_1\) 定义。参见图 2.13 了解示意图。
- \(\mathbb{R}^n\)的二维仿射子空间称为平面。平面的参数方程为\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda_1 \boldsymbol{b}_1+\lambda_2 \boldsymbol{b}_2\)，其中\(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\)，\(U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right] \subseteq \mathbb{R}^n\)。这意味着平面由一个支点\(\boldsymbol{x}_0\)和两个线性独立的向量\(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\) 定义，这两个向量张成方向空间（span the direction space）。
- 在\(\mathbb{R}^n\)中，\((n-1)\)维仿射子空间被称为超平面，相应的参数方程为\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \boldsymbol{b}_i\)，其中\(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}\)构成\(\mathbb{R}^n\)的一个\((n-1)\)维子空间\(U\)的基。这意味着超平面由一个支点\(\boldsymbol{x}_0\)和\((n-1)\)个线性独立的向量\(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}\)定义，这些向量张成方向空间。在\(\mathbb{R}^2\)中，直线也是超平面。在\(\mathbb{R}^3\)中，平面也是超平面。
备注（非齐次线性方程组和仿射子空间）。对于\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)和\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m\)，线性方程组\(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{x}\)的解要么是空集，要么是\(\mathbb{R}^n\)中维度为\(n-\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})\)的仿射子空间。特别地，当\(\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right) \neq (0, \ldots, 0)\)时，线性方程\(\lambda_1 \boldsymbol{b}_1 + \ldots + \lambda_n \boldsymbol{b}_n = \boldsymbol{x}\)的解是\(\mathbb{R}^n\)中的一个超平面。
在\(\mathbb{R}^n\)中，每个\(k\)维仿射子空间都是非齐次线性方程组\(\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}\)的解，其中\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)，\(\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m\)并且\(\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})=n-k\)。回想一下，对于齐次方程组\(\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}\)，解是一个向量子空间，我们也可以将其视为一个特殊的仿射空间，其支点为\(\boldsymbol{x}_0=\mathbf{0}\)。
2.8.2 仿射映射
类似于我们在 2.7 节讨论的向量空间之间的线性映射，我们可以在两个仿射空间之间定义仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质，例如线性映射的复合（composition）是一个线性映射，也适用于仿射映射。
定义 2.26（仿射映射）。对于两个向量空间\(V, W\)，一个线性映射\(\Phi: V \rightarrow W\)，以及\(\boldsymbol{a} \in W\)，映射
是从\(V\)到\(W\)的仿射映射。向量\(\boldsymbol{a}\)被称为\(\phi\)的平移向量。
- 每一个仿射映射\(\phi: V \rightarrow W\)也是线性映射\(\Phi: V \rightarrow W\)和\(W\)中的平移\(\tau: W \rightarrow W\)的复合，使得\(\phi = \tau \circ \Phi\)。映射\(\Phi\)和\(\tau\) 是唯一确定的（uniquely determined）。
- 仿射映射\(\phi: V \rightarrow W, \phi^{\prime}: W \rightarrow X\)的复合\(\phi^{\prime} \circ \phi\)是仿射的。
- 如果\(\phi\)是双射的，仿射映射保持几何结构不变。它们还保留维度和平行性。